मान लीजिए कि सीमा L = lim_{n rightarrow infty | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) हम सीमा $L = \lim_{n \rightarrow \infty} \sqrt{n} \int_0^1 \frac{1}{(1+x^2)^n} dx$ का मूल्यांकन करते हैं। प्रतिस्थापन $x = \frac{t}{\sqrt{n}}$ का

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{1}{2} < L < 2$

Vedclass · Answer

(A) हम सीमा $L = \lim_{n \rightarrow \infty} \sqrt{n} \int_0^1 \frac{1}{(1+x^2)^n} dx$ का मूल्यांकन करते हैं। प्रतिस्थापन $x = \frac{t}{\sqrt{n}}$ का उपयोग करने पर,$dx = \frac{dt}{\sqrt{n}}$ प्राप्त होता है। जैसे ही $n \rightarrow \infty$,समाकलन $L = \lim_{n \rightarrow \infty} \sqrt{n} \int_0^{\sqrt{n}} \frac{1}{(1 + t^2/n)^n} \cdot \frac{dt}{\sqrt{n}} = \lim_{n \rightarrow \infty} \int_0^{\sqrt{n}} (1 + t^2/n)^{-n} dt$ हो जाता है। घातांकीय फलन की परिभाषा के अनुसार,$\lim_{n \rightarrow \infty} (1 + t^2/n)^{-n} = e^{-t^2}$ होता है। अतः,$L = \int_0^{\infty} e^{-t^2} dt$। हम जानते हैं कि गॉसियन समाकलन $\int_0^{\infty} e^{-t^2} dt = \frac{\sqrt{\pi}}{2}$ है। चूंकि $\pi \approx 3.14159$,इसलिए $\sqrt{\pi} \approx 1.772$। अतः,$L = \frac{1.772}{2} = 0.886$। चूंकि $0.5 < 0.886 < 2$,सही विकल्प $\frac{1}{2} < L < 2$ है।

मान लीजिए कि सीमा $L = \lim_{n \rightarrow \infty} \sqrt{n} \int_0^1 \frac{1}{(1+x^2)^n} dx$ का अस्तित्व है और यह $\frac{1}{2}$ से बड़ा है। तो,

Similar Questions

$\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \left( \frac{x+\frac{\pi}{4}}{2-\cos 2x} \right) dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

माना $I_{n} = \int_{1}^{e} x^{19}(\log |x|)^{n} dx$,जहाँ $n \in N$ है। यदि $(20) I_{10} = \alpha I_{9} + \beta I_{8}$,प्राकृत संख्याओं $\alpha$ और $\beta$ के लिए है,तो $\alpha - \beta$ का मान ..... है।

$\int_0^{\pi /4} {\log (1 + \tan \theta )\,d\theta = } $

$\int_0^{\pi / 2} \frac{1}{1+\sqrt{\tan x}} d x=$

समाकलन $I = \int_{\frac{\pi}{24}}^{\frac{5\pi}{24}} \frac{dx}{1+\sqrt[3]{\tan 2x}}$ का मान है:

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module